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Modelagem Multinível

GLMM - Generalized Linear Models Multilevel​

  • Modelos multinível
  • Modelos hierárquicos
  • HLM (Hierarchical Linear Models)
  • Mixed Models
  • GLLAMM (Generalized Linear Latent and Mixed Models)
  • Nested Models (Modelos Aninhados)
  • Modelos Contextuais
  • RCM (Random Coefficient Models)

Modelos Multinível​

Modelos multinível são modelos estatísticos que permitem a análise de dados hierárquicos, ou seja, dados que possuem uma estrutura de aninhamento, como por exemplo, alunos em escolas, pacientes em hospitais, funcionários em empresas, etc.

GLMM

  • Y = efeito fixo + efeito aleatório + erro

  • Modelos multinível naturalmente consideram heterocedasticidade naturalmente. Diagnostico da heterocedasticidade (cone se abrindo) é omissão de variáveis relevantes, no caso de GLMM considera naturalmente pois considera efeitos aleatórios de inclinação e intercepto.

  • var(u_0j): Variância dos efeitos aleatórios de intercepto

  • var(u_ij): Variância dos efeitos aleatórios de inclinação

  • var(u_0j) ~= 0 e var(u_ij) ~= 0: OLS(GLM)

  • var(u_0j) ~= 0 e var(u_ij) != 0: Interceptos aleatórios

  • var(u_0j) != 0 e var(u_ij) ~= 0: Inclinações aleatórias

  • var(u_0j) != 0 e var(u_ij) != 0: Interceptos e inclinações aleatórias

Efeitos

  • OLS é um caso especial de GLMM, onde não há efeitos aleatórios.

  • Dummização permite eventos aleatórios de intercepto.

  • Box-Cox Transformation - Transformação de Box-Cox é uma técnica que pode ser usada para estabilizar a variância e tornar os resíduos mais próximos da normalidade. As vezes nem isso é suficiente, e é necessário usar modelos multinível.

Se a variância dos termos aleatórios forem estadisticamente diferentes de zero, então o modelo multinível é mais apropriado.

  • Não existe procedimento stepwise para estimação de modelagem multinível, pois a retirada de uma variável pode afetar o modelo como um todo. Utiliza-se a estratégia de step-up.

  • ICC: Intraclass Correlation Coefficient - Mede a proporção da variância total que é devida a variação entre os grupos. ICC = Variância entre os grupos / Variância total. Mostra o quanto da variância é explicada pelo efeito do grupo.

Step-Up Strategy​

  1. Primeiro roda-se o modelo nulo (modelo sem variação no x, so tem efeito aleatório de intercepto), Se a variância do efeito aleatório de intercepto nao for estaticamente aleatório, nao se justifica a modelagem multinível, é OLS.
  • nível 1: desempenho_ij = β_0j + e_ij
  • nível 2: β_0j = γ_00 + u_0j (γ_00 grand mean ou intercepto - componente de efeito fixo, u_0j efeito aleatório de intercepto)
  • substituindo: desempenho_ij = γ_00 + u_0j + e_ij (se não tiver variação de u_0j, não se justifica a modelagem multinível)
  1. Modelo com intercepto e inclinação aleatórios.
  • nível 1: desempenho_ij = β_0j + β_1j * x_ij + e_ij - e_ij erro indiossincrático
  • nível 2: β_0j = γ_00 + u_0j e β_1j = γ_10 + u_1j u_0j efeito aleatório de intercepto, u_0j efeito aleatório de inclinação
  • substituindo: desempenho_ij = γ_00 + γ_10 * x_ij + u_0j + u_1j * x_ij + e_ij - γ_00 + γ_10 * x_ij efeito fixo, u_0j + u_1j * x_ij efeito aleatório
  1. Modelo final
  • nível 1: desempenho_ij = β_0j + β_1j * x_ij + e_ij
  • nível 2: β_0j = γ_00 + γ_01 * z_j + u_0j e β_1j = γ_10 + γ_11 * z_j + u_1j
  • substituindo: desempenho_ij = γ_00 + γ_01 * z_j + γ_10 * x_ij + γ_11 * z_j * x_ij + u_0j + u_1j * x_ij + e_ij

Desafios de Modelos Multinível​

  • Interações profundas e capacidade de processamento
  • Métodos de estimação dos parâmetros
  • Clusterização da amostra

Python code​

re = random effects fe = fixed effects groups = agrupamento pela variável data = dataframe (bancos de dados)

Modelo Nulo​

import statsmodels.api as sm
sm.MixedLM.from_formula('y ~ 1', data=df, groups='x1', re_formula='1').fit()

Modelo com Intercepto e Inclinação Aleatórios​

import statsmodels.api as sm
sm.MixedLM.from_formula('y ~ x1 + x2', data=df, groups='x1', re_formula='x2').fit()

Modelo Final​

import statsmodels.api as sm
sm.MixedLM.from_formula('y ~ x1 + x2 + x1:x2', data=df, groups='x1', re_formula='x2).fit()
  • dois pontos (:): interação entre x1 e x2 (multiplicação)

Previsão​

A função predict não considera os efeitos aleatórios de intercepto ou de inclinação por grupo. Neste sentido, precisamos adicioná-los a partir dos parâmetros do modelo.

cuidado

O predict na modelagem multinível é considera apenas o componente de efeito fixo.

import statsmodels.api as sm
model = sm.MixedLM.from_formula('y ~ x1 + x2 + x1:x2', data=df, groups='x1', re_formula='x2).fit()
fixed_result = model.predict(pd.DataFrame({'x1': [123], 'x2': [456], 'group': ['A']}))

Adicionando os efeitos aleatórios:

re = pd.DataFrame(model.random_effects).T # T: matriz transposta
result = fixed_result + re['v0j'][0] * 123 + re['v1j'][0] * 456
# v0j e v1j são os efeitos aleatórios de intercepto e inclinação
# [0] é o índice do grupo A

Na Mão...

fitted_fixed = intercept + beta1 * x1 + beta2 * x2 + beta3 * x1 * x2
fitted_random = u0j + u1j * x1 + u2j * x2 + u3j * x1 * x2
fitted = fitted_fixed + fitted_random

beta3 = beta1:beta2

Modelagem HLM3 com medidas repetidas​

HLM3

  • Nivel 1: Período t (serie temporal)
  • Nivel 2: Indivíduo j
  • Nivel 3: Grupo k
  1. Modelos Nulo:
  • nível 1: desempenho_tjk = beta_0jk + erro_tjk (erro_tjk = erro indiossincrático)
  • nível 2: beta_0jk = gamma_00k + u_0jk (efeito aleatório do indivíduo)
  • nível 3: gamma_00k = delta_000 + tau_00k (delta_000 = grand mean, tau_00k = efeito aleatório do grupo)
  • substituindo: desempenho_tjk = delta_000 + tau_00k + u_0jk + erro_tjk (delta_000 = EF, restante EA)

ICCs (Intra-Class Correlation): proporção da variância total que é devida a variância entre os grupos.

icc_grupo = var(tau_00k) / (var(tau_00k) + var(u_0jk) + var(erro_tjk)) icc_individuo = var(u_0jk) / (var(tau_00k) + var(u_0jk) + var(erro_tjk))

Obs: Na aula grupo = escola, individuo = aluno.

  1. Modelo com Intercepto e Inclinação Aleatórios
  • nível 1: desempenho_tjk = beta_0jk + beta_1jk * tempo_tjk + erro_tjk
  • nível 2: beta_0jk = gamma_00k + u_0jk e beta_1jk = gamma_10k + u_1jk
  • nivel 3: gamma_00k = delta_000 + tau_00k e gamma_10k = delta_100 + tau_10k
  • substituindo: desempenho_tjk = delta_000 + delta_100 * tempo_tjk + u_0jk + u_1jk * tempo_tjk + tau_00k + tau_10k * tempo_tjk + erro_tjk
  1. Modelo Final - Modelo de tendência linear com interceptos e inclinações aleatórios e as variáveis de ativ de nivel 2 e texp de nivel 3.
  • nível 1: desempenho_tjk = beta_0jk + beta_1jk * tempo_tjk + erro_tjk
  • nível 2: beta_0jk = gamma_00k + gamma_01k * ativ_jk + u_0jk e beta_1jk = gamma_10k + gamma_11k * ativ_jk + u_1jk
  • nivel 3: gamma_00k = delta_000 + delta_001 * texp_k + tau_00k e gamma_01k = delta_010 e gamma_10k = delta_100 + delta_101 * texp_k + tau_10k e gamma_11k = delta_110
  • substituindo: desempenho_tjk = delta_000 + delta_100 * tempo_jk + delta_010 * ativ_jk + delta_001 * texp_k + delta_110 * ativ_jk * tempo_jk + delta_101 * texp_k * tempo_jk + u_0jk + u_1jk * tempo_jk + tau_00k + tau_10k * tempo_jk + erro_tjk

Python​

  1. Modelo Nulo
import statsmodels.api as sm
modelo_nulo_hlm3 = sm.MixedLM.from_formula("desempenho ~ 1", data=df, groups=df["grupo"], re_formula="1", vc_formula={"individuo": "0 + C(individuo)"})
  • desempenho: variável dependente
  • re_formula: efeito aleatório do indivíduo
  • vc_formula: componente de variância do grupo

A função mixedlm() não comporta efeitos aleatorios de inclinação para os niveis 2 e 3 simultaneamente. Para isso, é necessário usar a função Lmer() do pacote pymer4.models.

from pymer4.models import Lmer
modelo_nulo_hlm3 = Lmer(formula="desempenho ~ 1 + (1|grupo) + (1|individuo)", data=df)
md_nulo_hlm3.fit()
  1. Modelo com Intercepto e Inclinação Aleatórios
from pymer4.models import Lmer
modelo_intercpt_inclin_hlm3 = Lmer(formula="desempenho ~ tempo + (tempo|grupo) + (tempo|individuo)", data=df)
modelo_intercpt_inclin_hlm3.fit()
  1. Modelo Final
from pymer4.models import Lmer
modelo_final_hlm3 = Lmer(formula="desempenho ~ tempo + ativ + texp + ativ:tempo + texp:tempo + (tempo|grupo) + (tempo|individuo)", data=df)
modelo_final_hlm3.fit()

Prevendo...

fixed_result = modelo_final_hlm3.predict(pd.DataFrame({"tempo": [123], "ativ": [456], "texp": [789], "grupo": [0], "individuo": [0]}))

Obervações​

  • desempemho = variável dependente, o nome é por conta do contexto da aula, desempenho de alunos em escolas.
  • ativ = atividade
  • texp = tempo de experiência
  • tempo = tempo (serie temporal)

Para saber mais​